Question

已知函數f(x)＝a－.
(1)求證：函數y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）見解析   （2）(－∞，3]

解：(1)證明：當x∈(0，＋∞)時，
f(x)＝a－，
設0<x₁<x₂，則x₁x₂>0，x₂－x₁>0，
f(x₂)－f(x₁)＝(a－)－(a－)＝－＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
(2)由題意：a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，
設h(x)＝2x＋，
則a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x₁，x₂∈(1，＋∞)且x₁<x₂，
h(x₁)－h(x₂)＝(x₁－x₂)(2－)．
∵1<x₁<x₂，∴x₁－x₂<0，x₁x₂>1，
∴2－>0，∴h(x₁)<h(x₂)，
∴h(x)在(1，＋∞)上單調遞增．
故a≤h(1)即a≤3，
∴a的取值范圍是(－∞，3]．