Question

已知函數f(x)＝
(1)若x<a時，f(x)<1恒成立，求a的取值范圍；
(2)若a≥－4時，函數f(x)在實數集R上有最小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）a≤log₂（2）a>時，函數f(x)有最小值

(1)因為x<a時，f(x)＝4^x－4×2^x－a，所以令t＝2^x，則有0<t<2^a.
當x<a時f(x)<1恒成立，轉化為t²－4×<1，
即>t－在t∈(0，2^a)上恒成立．
令p(t)＝t－，t∈(0，2^a)，則p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2^a)上單調遞增，
所以≥2^a－，所以2^a≤，解得a≤log₂.
(2)當x≥a時，f(x)＝x²－ax＋1，即f(x)＝＋1－，
當≤a時，即a≥0時，f(x)_min＝f(a)＝1；
當>a時，即－4≤a<0，f(x)_min＝f＝1－.
當x<a時，f(x)＝4^x－4×2^x－a，令t＝2^x，t∈(0，2^a)，則h(t)＝t²－t＝－，
當<2^a，即a> 時，h(t)_min＝h＝－；
當≥2^a，即a≤時，h(t)在開區間t∈(0，2^a)上單調遞減，h(t)∈(4^a－4，0)，無最小值．
綜合x≥a與x<a，所以當a> 時，1>－，函數f(x)_min＝－；
當0≤a≤時，4^a－4<0<1，函數f(x)無最小值；
當－4≤a<0時，4^a－4<－3≤1－，函數f(x)無最小值．
綜上所述，當a>時，函數f(x)有最小值．