Question

【題目】已知橢圓的左右頂點分別為A，B，離心率為，長軸長為4，動點S在C上位于x軸上方，直線與直線，分別交于M，N兩點.

（1）求橢圓C的方程

（2）求|MN|的最小值

（3）當最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使△TSB面積為？若存在，請確定點T的個數；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）4個點

【解析】

（1）根據離心率和長軸長可求得，即可求得橢圓的方程；

（2）用|表示MN|，再利用基本不等式求的最小值即可；

（3）求出的方程為，與橢圓方程聯立求得的坐標，再設出與直線平行的直線方程，利用直線與橢圓相切時的三角形的面積與進行比較，即可判斷點的個數.

（1），又，

，橢圓的方程為.

（2），

又，

，，

，

，等號成立當且僅當.

（3），的方程為，與橢圓方程聯立得：

，，，

，

設與平行的直線為，代入橢圓方程，

整理得：，

當直線與橢圓相切時，，

當時，點為切點，此時的高為，

的面積為，

在直線的上方存在兩個點，使得的面積為，

當時，點為切點，此時的高為，

的面積為，

在直線的下方存在兩個點，使得的面積為，

橢圓C上存4個點T.