Question

【題目】某公司設計如圖所示的環狀綠化景觀帶，該景觀帶的內圈由兩條平行線段（圖中的AB，DC）和兩個半圓構成，設AB=xm，且x≥80．

（1）若內圈周長為400m，則x取何值時，矩形ABCD的面積最大？
（2）若景觀帶的內圈所圍成區域的面積為 m2 ， 則x取何值時，內圈周長最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：設半圓的半徑為r，

可得2x+2πr=400，即x+πr=200，

矩形ABCD的面積為S=2xr= xπr≤ （ ）2= ，

當且僅當x=πr=100m時，矩形的面積取得最大值 m2

（2）解：設半圓的半徑為r，

由題意可得πr2+2xr= ，可得2x= ﹣πr，

即有內圈周長c=2x+2πr= +πr，

由x≥80，可得 ﹣πr≥160，

解得0＜πr≤90，

可得f（r）= +πr，f′（r）=π﹣ ，

即有f（r）在（0， ]上遞減，

即有πr=90，即x=80m時，周長c取得最小值340m

【解析】（1）設半圓的半徑為r，可得x+πr=200，矩形ABCD的面積為S=2xr= xπr，運用基本不等式即可得到所求最小值及x的值；（2）設半圓的半徑為r，由題意可得2x= ﹣πr，即有內圈周長c=2x+2πr= +πr，由x≥80，求得r的范圍，設出f（r）= +πr，求得導數，判斷單調性，即可得到所求最小值及x的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解基本不等式在最值問題中的應用(用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”)．