Question

如圖18圖，已知AA₁//BB₁//CC₁，且AA₁=BB₁=2CC₁=2，AA₁⊥面A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁是邊長為2的正三角形，M為BC的中點。
（1）求證：MA₁⊥B₁C₁；
（2）求二面角C₁—MB₁—A₁的平面角的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）見解析  （Ⅱ）

本試題主要是考查了空間立體幾何總的線線垂直的判定和二面角的求解的證明你和求解試題的綜合運用。可以運用幾何方法證明，也可以運用向量法來解得。
（1）利用線面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理得到線線垂直的證明，關鍵是面的證明
（2）借助于三垂線定理，做輔助線，可知為二面角的平面角
然后借助于直角三角形中邊的關系求解得到二面角的平面角的大小
解：法一：（Ⅰ）取的中點，連結，，則
又由題意可知，所以面，
所以，所以面，所以……6分
（Ⅱ）過作于，連結，由（Ⅰ）可知面，
由三垂線定理可知為二面角的平面角
，，，在中，
所以……13分
法二：如圖建立直角坐標，則，
則
（Ⅰ），……6分
（Ⅱ）取的中點，取面的法向量
設面的法向量為

，
所以