Question

(本小題滿分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形,∥,∠,⊥底面,且,是的中點(diǎn).

(1)證明:平面⊥平面;
(2)求與所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析；(2)與所成角的余弦值為.
(3)二面角的余弦值為 。

第一問(wèn)主要考查空間幾何體中線，面位置關(guān)系的證明！掌握好線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理注意線線，線面，面面之間的轉(zhuǎn)化有利于證明題的解決。第二三問(wèn)主要是線線角與二面角的求法。掌握利用向量求空間角的方法。
解：(1)∵⊥底面，
∴⊥
又∠
∴⊥
而平面，平面，
且
∴⊥平面，…………2分
又∥
∴⊥平面，…………3分
又平面，
∴平面⊥平面.              …………………………4分
(2)由(1)知可以為原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
∵,是的中點(diǎn),
∴, ………………5分
∴ …………………………6分
∴,
∴與所成角的余弦值為.    …………………………8分
(3)∵
記平面的法向量為
則即,令則,
∴ …………………………9分
同理可得平面的法向量為 …………………………10分
∴ …………………………11分
又易知二面角的平面角為鈍角,
∴二面角的余弦值為        …………………………12分