Question

【題目】已知函數f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要使函數有意義，則，解得﹣3＜x＜3，
故函數y=f（x）定義域為（﹣3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數y=f（x）的定義域為（﹣3，3），關于原點對稱．
對任意x∈（﹣3，3），則﹣x∈（﹣3，3），
∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），
∴由函數奇偶性可知，函數y=f（x）為偶函數．
（Ⅲ）∵函數f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）=lg（9﹣x2），
由復合函數單調性判斷法則知，當0≤x＜3時，函數y=f（x）為減函數．
又函數y=f（x）為偶函數，
∴不等式f（2m﹣1）＜f（m），等價于|m|＜|2m﹣1|＜3，
解得﹣1＜m＜或1＜m＜2．
【解析】（Ⅰ）由 ， 求得x的范圍，可得函數y=f（x）定義域．
（Ⅱ）由于函數y=f（x）的定義域關于原點對稱．且滿足 f（﹣x）=f（x），可得函數y=f（x）為偶函數．
（Ⅲ）化簡函數f（x）的解析式為lg（4﹣x2），結合函數的單調性可得，不等式f（m﹣2）＜f（m）等價于|m|＜|m﹣2|＜2，由此求得m的范圍．
【考點精析】利用函數的定義域及其求法和指、對數不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；指數不等式的解法規律：根據指數函數的性質轉化;對數不等式的解法規律：根據對數函數的性質轉化．