Question

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點，是的中點.   　

(Ⅰ) 求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 取中點為，連  ∵ 是的中點  ∴是的中位線,∴    ∵ 是中點且是菱形，

,∴ . ∴  

  ∴ 四邊形是平行四邊形.  從而 ,     ∵ 平面 ,

平面,        ∴  ∥平面       ……………………………4分

（Ⅱ）∵ ⊥平面,平面   ∴   

∵ 底面是菱形，  ∴ 為正三角形,  ∵是中點  ∴     ∵是平面內的兩條相交直線  ∴ ⊥平面. 

∵平面  ∴ 平面⊥平面  .  ……………………………8分

說明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前兩小題用向量法，解答只要言之有理均應按步給分.

（Ⅲ）以為原點，垂直于的方向為軸，的方向分別為軸、軸建立空間直角坐標系，易知、、、.

由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一個法向量,

設平面的一個法向量為

由 ,且由

在以上二式中令，則得，，

∴,設平面與平面所成銳角為 

 ∴ .　

故平面與平面所成的銳角為

 

 

【解析】略