Question

【題目】在單調遞增數列中，，，且成等差數列，成等比數列，。

（Ⅰ）（ⅰ）求證：數列為等差數列；

（ⅱ）求數列的通項公式。

（Ⅱ）設數列的前項和為，證明：，。

Answer 1

【答案】（1）緊扣等差數列定義證明，（2）當為偶數時，當為奇數時。（3）證明見解析。

【解析】

試題分析：要證明數列為等差數列，只需證明成立，由于數列首項為正，

數列為單調遞增，說以，由成等差數列，得……（1），由因為，成等比數列，則，于是代入（1）式整理得：得證；先求，備用，由于數列為等差數列，可借助等差數列通項公式求出，再由求出，最后分為奇數和偶數兩種情況表達，由于數列的通項公式分為奇數和偶數兩種情況表達的，所以需要合在一起，合成公式是

，合成后對進行放縮，這里技巧很重要，

，再求，最后利用裂項相消法求和達到證明不等式的目的；

試題解析：（ⅰ）因為數列為單調遞增數列，，所以()。由題意成等差數列，成等比數列，．得,，于是，化簡得，所以數列為等差數列。

（ⅱ）又，，所以數列的首項為，公差為，所以，從而。結合可得。因此，當為偶數時，當為奇數時。

（2）所以數列的通項公式為：

。因，所以；則有，所以，。