Question

【題目】已知函數f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=﹣2．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）當x∈[﹣3，3]時，函數f（x）是否有最值？若果有，求出最值；如果沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）

令z=y=0可得f（0）=2f（0）即f（0）=0

令﹣x=y可得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0

∴f（﹣x）=﹣f（x）

即函數f（x）是奇函數

（2）解：設x1＞x2，則x1﹣x2＞0

x＞0時，f（x）＜0，

∴f（x1﹣x2）＜0

∵f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]

=f（x1﹣x2）+f（x2）＜f（x2）

∴x∈[﹣3，3]時，函數f（x）單調遞減

∵f（1）=﹣2

∴f（x）max=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣3f（1）=6

f（x）min=f（3）=3f（1）=﹣6

【解析】（1）令z=y=0可求f（0）=0，然后令﹣x=y可f（﹣x）=﹣f（x），即可判斷（2）設x1＞x2 ， 則x1﹣x2＞0，利用x＞0時，f（x）＜0，可得f（x1﹣x2）＜0，然后根據函數的單調性的定義可得f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＜f（x2），結合函數的單調性可求函數的最值