Question

（本大題滿分14分）如圖，F為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關系式；
（Ⅱ）當時，經過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。

Answer 1

（Ⅰ）。（Ⅱ）

解：（Ⅰ）∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又，
所以。
（Ⅱ）當時，，，，雙曲線為
四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，
又，由得：，
解得，則，所以為所求。