Question

（本小題滿分14分）
如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.
(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；
(ⅱ)求△AMN面積的最大值.

Answer 1

（1）橢圓C方程為.（2）同解析

解法一：
（Ⅰ）由題設a=2,c=1,從而b²=a²-c²=3,
所以橢圓C方程為.
(Ⅱ)(i)由題意得F(1,0),N(4,0).
設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),="1." ……①
AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
設M(x₀,y₀),則有 n(x₀-1)-(m-1)y₀="0," ……②
n(x₀-4)+(m-4)y₀="0," ……③
由②，③得
x₀=.
所以點M恒在橢圓G上.

(ⅱ)設AM的方程為x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.
設A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），則有：y₁+y₂=
|y₁-y₂|=
令3t²+4=λ(λ≥4),則
|y₁-y₂|＝
因為λ≥4，0<
|y₁-y₂|有最大值3，此時AM過點F.
△AMN的面積S_△AMN=
解法二：
（Ⅰ）問解法一：
（Ⅱ）（ⅰ）由題意得F(1,0),N(4,0).
設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),              ……①
AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y="0,                 " ……②
n(x-4)-(m-4)y="0,                 " ……③
由②，③得：當≠.         ……④
由④代入①，得=1（y≠0）.
當x=時，由②，③得：
解得與a≠0矛盾.
所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上.
（Ⅱ）同解法一.