Question

【題目】已知一動點， 到點的距離減去它到軸距離的差都是．

（）求動點的軌跡方程．

（）設動點的軌跡為，已知定點、，直線、與軌跡的另一個交點分別為、．

（i）點能否為線段的中點，若能，求出直線的方程，若不能，說明理由．

（ii）求證：直線過定點．

Answer 1

【答案】(1) (2)①②見解析

【解析】試題分析：（1）由題意易得： ，坐標化易得動點的軌跡方程；（2）（i）設， ， ，假設能為中點，則，利用點在拋物線上可得， 方程： ，∵與有兩個交點，易得， ，從而得到直線的方程；（ii）設，由： 得到，同理可得： ，∴，從而得到直線過定點．

試題解析：

（）， ，

， ，

∴．

（）

（i）設， ， ，

假設能為中點，則，

， 在軌跡方程上，則：

，

， ，

，

，

方程： ，即，

， 或，

∵與有兩個交點，

∴， ，

∴， ，

∴，即，

， ，

∴或，

∴， ，

∴，

∵，

∴．

（ii）設，

∴，

： ，

，

，

，

∴， ，

∴，

： ，

同理得： ，

，

∴，

，

整理可得： ，

∴， ， ， ， ，

∴， ，

恒過．