Question

如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A₁B₁，∠BAD＝60°.
 
(1)證明：AA₁⊥BD；
(2)證明：CC₁∥平面A₁BD.

Answer 1

見解析

(1)法一因為D₁D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D₁D⊥BD.
在△ABD中，由余弦定理，得
BD²＝AD²＋AB²－2AD·ABcos∠BAD.
又因為AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD²＝3AD².
所以AD²＋BD²＝AB²，因此AD⊥BD.
又AD∩D₁D＝D，所以BD⊥平面ADD₁A₁.
又AA₁?平面ADD₁A₁，所以AA₁⊥BD.
法二因為DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以BD⊥D₁D.
如圖1，取AB的中點G，連接DG.

圖1
在△ABD中，由AB＝2AD，得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG為等邊三角形，所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.
又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，
所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，
所以BD⊥AD.
又AD∩D₁D＝D，所以BD⊥平面ADD₁A₁.
又AA₁?平面ADD₁A₁，所以AA₁⊥BD.
(2)如圖2，連接AC，A₁C₁.
設AC∩BD于點E，

圖2
連接EA₁.
因為四邊形ABCD為平行四邊形，
所以EC＝AC.
由棱臺的定義及AB＝2AD＝2A₁B₁知，
A₁C₁∥EC且A₁C₁＝EC，
所以四邊形A₁ECC₁為平行四邊形，
因此CC₁∥EA₁.
又因為EA₁?平面A₁BD，CC₁?平面A₁BD，
所以CC₁∥平面A₁BD.