Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，直線(xiàn)l₁：y=﹣t²+8t（其中0≦t≦2．t為常數(shù)）；l₂：x=2．若直線(xiàn)l₁、l₂與函數(shù)f（x）的圖象以及l(fā)₁，y軸與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）由圖形可知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16
則，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=﹣x²+8x
（Ⅱ）由得x²﹣8x﹣t（t﹣8）=0，
∴x₁=t，x₂=8﹣t，∵0≦t≦2，
∴直線(xiàn)l₁與f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t²+8t）由定積分的幾何意義知：

=
=
（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x²﹣8x+6lnx+m
因?yàn)閤＞0，要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則
函數(shù)H（x）=x²﹣8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴
∴x=1或x=3時(shí)，H'（x）=0
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H'（x）＞0，H（x）是增函數(shù),
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，H'（x）＜0，H（x）是減函數(shù)
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，H'（x）＞0，H（x）是增函數(shù)
∴H（x）極大值為H（1）=m﹣7；H（x）極小值為
H（3）=m+6ln3﹣15
又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，H（x）→﹣∞；
當(dāng)x→+∞時(shí)，H（x）→+∞
所以要使Η（x）=0有且僅有兩個(gè)不同的正根
，必須且只須
即，
∴m=7或m=15﹣6ln3．
∴當(dāng)m=7或m=15﹣6ln3．時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)