Question

已知命題p：方程

x2

2m

-

y2

m-2

=1 表示焦點在x軸上的雙曲線．命題q：曲線y=x²+（2m-3）x+1與x軸交于不同的兩點，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p、q為真命題時m的范圍，根據復合命題真值表可得命題p，q命題一真一假，分p真q假和p假q真求出m的范圍，再求并集．

解答：解：∵方程

x2

2m

-

y2

m-2

=1 表示焦點在x軸上的雙曲線，
∴

2m＞0 m-2＞0

⇒m＞2
若p為真時：m＞2，
∵曲線y=x²+（2m-3）x+1與x軸交于不同的兩點，
則△=（2m-3）²-4＞0⇒m＞

5

2

或m＜

1

2

，
若q真得：m＞

5

2

或m＜

1

2

，
由復合命題真值表得：若p∧q為假命題，p∨q為真命題，p，q命題一真一假                                
若p真q假：2＜m≤

5

2

；                           
若p假q真：m＜

1

2

                                
∴實數m的取值范圍為：2＜m≤

5

2

或m＜

1

2

．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了雙曲線的標準方程，關鍵是求得命題為真時的等價條件．