Question

【題目】設函數 ，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x﹣4y﹣12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程7x﹣4y﹣12=0可化為 ，當x=2時， ，

又 ，于是 ，解得 ，故

（2）解：設P（x0，y0）為曲線上任一點，由 知曲線在點P（x0，y0）處的切線方程為 ，即

令x=0，得 ，從而得切線與直線x=0的交點坐標為 ；

令y=x，得y=x=2x0，從而得切線與直線y=x的交點坐標為（2x0，2x0）；

所以點P（x0，y0）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為 ．

故曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．

【解析】（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（2，f（2）在曲線上，利用方程聯立解出a，b（2）可以設P（x0 ， y0）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯立，得到交點坐標，接著利用三角形面積公式即可．
【考點精析】本題主要考查了導數的幾何意義和一般式方程的相關知識點，需要掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）才能正確解答此題．