【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，直線
（
）與橢圓
交于
，
兩點（點在
軸的上方）.
（1）若
，求
的面積；
（2）是否存在實數
使得以線段
為直徑的圓恰好經過坐標原點
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在實數
，使得以線段
為直徑的圓恰好經過坐標原點
【解析】
（1）由橢圓方程求得
，得
，由直線方程與橢圓方程聯立可解得交點坐標，當然這里只要得出
點的縱坐標，即可求得三角形面積；
（2）這類問題，都是假設存在實數
使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點，則有
.設
，
，從而有
，把直線方程與橢圓方程聯立消元后可得
，代入，求得值，說明存在，求不出值說明假設錯誤，不存在。
（1）設橢圓的半焦距為
，因為
，
，
，所以
，
，
，
聯立
化簡得
，解得
或
，又點在
軸的上方，所以
，所以
，
所以
的面積為
.
（2）假設存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點，則有.
設，，
聯立
消去
得
，（*）
則
，
.
由，所以，即
，
整理得
，
所以
，解得.
經檢驗時（*）中
，
所以存在實數，使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點.
智能訓練練測考系列答案
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，
且滿足:
(1)證明：是等比數列，并求數列的通項公式.
(2)設
，若數列
是等差數列，求實數
的值；
(3)在(2)的條件下，設
記數列
的前項和為
，若對任意的
存在實數
,使得
,求實數的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業通過調查問卷（滿分50分）的形式對本企業900名員工的工作滿意程度進行調查，并隨機抽取了其中30名員工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：
女 | 47 | 36 | 32 | 48 | 34 | 44 | 43 | 47 | 46 | 41 | 43 | 42 | 50 | 43 | 35 | 49 |
男 | 37 | 35 | 34 | 43 | 46 | 36 | 38 | 40 | 39 | 32 | 48 | 33 | 40 | 34 |
（1）根據以上數據，估計該企業得分大于45分的員工人數；
（2）現用計算器求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規定大于平局得分為 “滿意”，否則為 “不滿意”，請完成下列表格：
“滿意”的人數 | “不滿意”的人數 | 合計 | |
女員工 | 16 | ||
男員工 | 14 | ||
合計 | 30 |
（3）根據上述表中數據，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為該企業員工“性別”與“工作是否滿意”有關？
參考數據：
P(K2 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
K | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子里裝有大小均勻的6個小球，其中有紅色球4個，編號分別為1，2，3，4；白色球2個，編號分別為4，5，從盒子中任取3個小球（假設取到任何—個小球的可能性相同）.
（1）求取出的3個小球中，含有編號為4的小球的概率；
（2）在取出的3個小球中，小球編號的最大值設為
，求隨機變量的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某IT從業者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點圖：
（1）由散點圖知，可用回歸模型
擬合
與
的關系，試根據附注提供的有關數據建立關于的回歸方程
（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.
試利用（1）的結果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認為年齡與收入有關系？
附注：①.參考數據：
，
，
,
，
，
,
，其中
，取
，
②.參考公式：回歸方程
中斜率
和截距
的最小二乘估計分別為:
，
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
③.
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的焦點是
，
、
是曲線
上不同兩點，且存在實數
使得
，曲線在點、處的兩條切線相交于點
．
（1）求點的軌跡方程；
（2）點
在
軸上，以
為直徑的圓與
的另一交點恰好是的中點，當
時，求四邊形
的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將三棱錐
與
拼接得到如圖所示的多面體，其中
，
，
，
分別為
，
，
，
的中點，
.
（1）當點
在直線
上時，證明：
平面
；
（2）若
與
均為面積為
的等邊三角形，求該多面體體積的最大值.
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