Question

已知數列滿足（）．
（1）若數列是等差數列，求它的首項和公差；
（2）證明：數列不可能是等比數列；
（3）若，（），試求實數和的值，使得數列為等比數列；并求此時數列的通項公式．

Answer 1

（1）首項為，公差為；（2）證明見解析；（3），，．

試題分析：（1）這個問題可以用特殊值法，數列是等差數列，則前3項也成等差數列，利用它就可求出，或者先由已知求出通項公式，再與等差數列的通項公式比較求出，或者假設是等差數列，則代入已知，求出，然后與其通項公式比較，得出；（2）要證數列不是等比數列，只要證明不能成等比數列即可，但本題條件較少，可用反證法，假設它是等比數列，由成等比，求出，然后再求，看是否成等比，如果不成等比，則假設錯誤，命題得證；（3）數列為等比數列，則是常數，設，這是關于的恒等式，
，，于是有對應項系數相等，由此可求出，從而得到結論．
試題解析：（1）解法一：由已知，，   （1分）
若是等差數列，則，即，   （1分）
得，， 故．      （1分）
所以，數列的首項為，公差為．   （1分）
解法二：因為數列是等差數列，設公差為，則，
故，   （1分）
，又，所以有，   （1分）
又，從而．   （1分）
所以，數列的首項為，公差為．   （1分）
（2）假設數列是等比數列，則有，
即，      （1分）
解得，從而，，    （1分）
又．    （2分）
因為，，，不成等比數列，與假設矛盾，
所以數列不是等比數列．       （2分）
（3）由題意，對任意，有（為定值且），
即．     （2分）
即，   （1分）
于是，，   （1分）
所以，   （2分）
所以，當，時，數列為等比數列．   （1分）
此數列的首項為，公比為，所以．
因此，的通項公式為．    （1分）