Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a，若函數(shù)f(x)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值.

Answer 1

【答案】2－4ln 2.

【解析】試題分析：

由題意可知f(x)<0在區(qū)間上恒成立不可能，則原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)x∈,恒成立.構(gòu)造函數(shù),則，

再令，可得m(x)> 0，則l(x)在上為增函數(shù),據(jù)此可得a∈[24ln2,+∞)，a的最小值為24ln2.

試題解析：

函數(shù)的解析式即：

為定值，而，

故f(x)<0在區(qū)間上恒成立不可能，

故要使函數(shù)f(x)在上無(wú)零點(diǎn)，

只要對(duì)任意的x∈,f(x)>0恒成立,

即對(duì)x∈,恒成立.

令,則，

再令，

則,故m(x)在上為減函數(shù),于是m(x)>m()=22ln2>0，

從而, ,于是l(x)在上為增函數(shù),所以l(x)<l()=24ln2，

故要使恒成立,只要a∈[24ln2,+∞)，

綜上,若函數(shù)f(x)在上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值為24ln2.