Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線的極坐標方程為．

（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點，求點到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）.

【解析】

（1）利用極坐標與直角坐標互化公式即可求得直線的直角坐標方程，將曲線C的參數方程消參數即可求得曲線的普通方程，問題得解。

（2）求出點的直角坐標，再利用橢圓的參數方程表示點的坐標為，利用點到直線距離公式及兩角差的正弦公式即可整理點P到直線的距離，問題得解。

（1）因為直線的極坐標方程為，

即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．

由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

可得直線的直角坐標方程為x－y－4＝0．

將曲線C的參數方程消去參數，

得曲線C的普通方程為．

（2）設N（，sinα），α∈[0，2π）．

點M的極坐標（，）化為直角坐標為（－2，2）．

則．

所以點P到直線的距離，

所以當時，點M到直線的距離的最大值為．