Question

某公司生產某種產品的固定成本為150萬元，而每生產x千件產品每年需另增加的可變成本為C（x）（單位：萬元），且C（x）=

1 3 x2+10x(0＜x＜80，x∈N*) 51x+ 10000 x -1450(x≥80，x∈N*)

，每件產品的售價為500元，且假定該公司生產的產品能全部售出．
（Ⅰ）寫出年利潤L（x）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）年產量為多少千件時，該公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據條件即可建立年利潤L（x）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）根據函數的表達式，利用基本不等式即可求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）當0＜x＜80，x∈N^*時，L(x)=

500×1000x

10000

-(

1

3

x2+10x)-150=-

1

3

x2+40x-150；
當x≥80，x∈N^*時，L(x)=

500×1000x

10000

-(51x+

10000

x

)-1450-150=1300-(x+

10000

x

)．
則L(x)=

- 1 3 x2+40x-150(0＜x＜80，x∈N*) 1300-(x+ 10000 x )(x≥80，x∈N*).

．
（Ⅱ）當0＜x＜80，x∈N^*時，L(x)=-

1

3

(x-60)2+40x+1050．
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=1050．
當x≥80，x∈N^*時，L(x)=1300-(x+

10000

x

)≤1300-2

x• 10000 x

=1100．
∴當x=

10000

x

，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1100．
綜上，當x=100時，L（x）取得最大值1100，即年產量為100千件時，該公司所獲利潤最大．

點評：本題主要考查函數的應用，以及函數最值的求解，利用基本不等式的性質是解決本題的關鍵．