【題目】若存在實數
，
，使不等式
對一切正數
都成立（其中
為自然對數的底數），則實數的最小值是（ ）.
A.
B.4C.D.2
【答案】B
【解析】
分別畫出
和
的圖象，依題意存在實數
，
，使不等式
對一切正數
都成立，要求參數的最小值，臨界條件即為直線
：
恰為函數和的公切線，設函數上的切點
，則
，即轉化為求
，設函數的切點為
，表示出切線方程，即可得到方程組，整理得到
，令
，求出令即可得解；
解：分別畫出和的圖象，依題意存在實數，，使不等式對一切正數都成立，要求參數的最小值，臨界條件即為直線
：恰為函數和的公切線，設函數上的切點，
，
，所以，
所以切線方程為
，整理得
，同時直線也是函數的切線，設切點為，所以切線方程為
，整理得
，
所以
，整理得
，即，令，則
，所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，故
，
顯然
，故當
時
取得最小值，即實數的最小值為4，
故選：B．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】唐詩是中國文學的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關鍵字的選取，某研究人員將唐詩分成7大類別，并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇，統計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數，得到下表：
愛情婚姻 | 詠史懷古 | 邊塞戰爭 | 山水田園 | 交游送別 | 羈旅思鄉 | 其他 | 總計 | |
篇數 | 100 | 64 | 55 | 99 | 91 | 73 | 18 | 500 |
含“山”字的篇數 | 51 | 48 | 21 | 69 | 48 | 30 | 4 | 271 |
含“簾”字的篇數 | 21 | 2 | 0 | 0 | 7 | 3 | 5 | 38 |
含“花”字的篇數 | 60 | 6 | 14 | 17 | 32 | 28 | 3 | 160 |
（1）根據上表判斷，若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇，則它屬于哪個類別的可能性最大，屬于哪個類別的可能性最小，并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率；
（2）已知檢索關鍵字的選取規則為：
①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關系，則“某字”為“某類別”的關鍵字；
②若“某字”被選為“某類別”關鍵字，則由其對應列聯表得到的
的觀測值越大，排名就越靠前；
設“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應的觀測值分別為
，
，
.已知
，
，請完成下面列聯表，并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關鍵字并排名.
屬于“愛情婚姻”類 | 不屬于“愛情婚姻”類 | 總計 | |
含“花”字的篇數 | |||
不含“花”的篇數 | |||
總計 |
附：
，其中
.
| 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某手機企業為確定下一年度投入某種產品的研發費用，統計了近
年投入的年研發費用
千萬元與年銷售量
千萬件的數據，得到散點圖1，對數據作出如下處理：令
，
，得到相關統計量的值如圖2：
（1）利用散點圖判斷
和
哪一個更適合作為年研發費用和年銷售量的回歸類型（不必說明理由），并根據數據，求出與的回歸方程；
（2）已知企業年利潤
千萬元與
的關系式為
（其中
為自然對數的底數），根據（1）的結果，要使得該企業下一年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發費用？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐中，SA=SB=AB=BC=CA=6，且側面ASB⊥底面ABC，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（ ）
A. 60π B. 56π C. 52π D. 48π
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，準線
與
軸交于點
，點
在拋物線上，直線
與拋物線
交于另一點
.
（1）設直線
，
的斜率分別為
，
，求證：
常數；
（2）①設
的內切圓圓心為
的半徑為
，試用表示點
的橫坐標
；
②當的內切圓的面積為
時，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(
,0),(
,0),圓E是△ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.
（1）求曲線G的方程;
（2）設直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,
是坐標原點
,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種設備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應增加現對一批該設備進行調查，得到這批設備自購入使用之日起，前5年平均每臺設備每年的維護費用大致如下表：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費 | 1.1 | 1.6 | 2 | 2.5 | 2.8 |
（1）在這5年中隨機抽取兩年，求平均每臺設備每年的維護費用至少有1年多于2萬元的概率；
（2）求
關于
的線性回歸方程．若該設備的價格是每臺16萬元，你認為應該使用滿五年換一次設備，還是應該使用滿八年換一次設備？請說明理由．
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程
的系數公式
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為
的函數
，若同時滿足下列條件：①在內有單調性；②存在區間
，使在區間
上的值域也為，則稱為上的精彩函數，為函數的精彩區間．
（1）求精彩區間
符合條件的精彩區間；
（2）判斷函數
是否為精彩函數？并說明理由．
（3）若函數
是精彩函數，求實數
的取值范圍．
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