Question

【題目】已知函數.

（1）求的極值；

（2）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（3）設，若函數存在兩個零點，且滿足，問：函數在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值，極大值（2）（3）不能平行于軸，詳見解析

【解析】

（1）求導，根據導數的正負判斷函數的單調性，從而求得極值；

（2）根據恒成立，分離參數，利用均值不等式求得最值即可；

（3）根據題意，將問題轉化為方程是否有根的問題，構造函數，利用導數研究其單調性，即可容易判斷.

（1）由已知，，令，

得，或，

令，則，，則，

故在區間單調遞增，在區間單調遞減，

故可得極小值，極大值.

（2），.

由題意，知恒成立，即.

又，，當且僅當時等號成立.

故，所以.

（3）設在的切線平行于軸，

其中

結合題意，

；，

相減得

又，

∴，又，

所以.

設，.

設，

，

所以函數在上單調遞增，

因此，，

即.

也就是，，

所以無解.

所以在處的切線不能平行于軸.