在平面直角坐標系
中，點
與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于
.
(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；
(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線
交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。
(Ⅰ) 
； (Ⅱ)存在，點
的坐標為
解析試題分析：（I）解：因為點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，所以點B的坐標為（1，-1）
設點P的坐標為（x，y）
由題意得
化簡得
故動點P的軌跡方程為
（Ⅱ）解法一：設點P的坐標為
，點
的坐標分別為
則直線
的方程式為
，直線
的方程式為
令
得
6分
于是
的面積 
7分
又直線AB的方程為
點P到直線AB的距離
8分
于是
的面積
9分
當
時，得
10分
又
，所以
，解得
12分
因為
，所以
。 13分
故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為 14分
考點：軌跡方程是求法；直線與雙曲線的綜合應用。
點評：求軌跡方程的基本步驟：①建立適當的平面直角坐標系，設P（x，y）是軌跡上的任意一點；
②尋找動點P（x，y）所滿足的條件；③用坐標（x，y）表示條件，列出方程f（x，y）=0；④化簡方程f（x，y）=0為最簡形式；⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程，注意驗證。
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
，點
，直線
、
都是圓
的切線（
點不在
軸上）。
⑴求過點且焦點在
軸上拋物線的標準方程；
⑵過點
作直線
與⑴中的拋物線相交于
、
兩點，問是否存在定點
，使
.
為常數？若存在，求出點的坐標與常數；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分） 已知直線L：y=x+1與曲線C：
交于不同的兩點A,B;O為坐標原點。
（1）若
，試探究在曲線C上僅存在幾個點到直線L的距離恰為
？并說明理由；
（2）若
，且a>b,
,試求曲線C的離心率e的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知中心在坐標原點O，焦點在
軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M(2,1)
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線
平行于
，且與橢圓交于A、B兩個不同點.
（ⅰ）若
為鈍角，求直線在
軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，且過點
，
為其右焦點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設過點
的直線
與橢圓相交于
、
兩點（點在
兩點之間），若
與
的面積相等，試求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸長為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知動直線
與橢圓相交于
、
兩點. ①若線段
中點的橫坐標為
，求斜率
的值；②若點
，求證：
為定值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
所圍成的封閉圖形的面積為
，曲線
的內切圓半徑為
．記
為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
是過橢圓中心的任意弦，
是線段的垂直平分線．
是上異于橢圓中心的點．
（i）若
（
為坐標原點），當點
在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；
（ii）若是與橢圓的交點，求
的面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分13分）
設點P是圓x2 +y2 =4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP0，垂足為Po，且
．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線
：y=kx+m(m≠0)與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點A，B．
（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求實數m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點Q，求證：直線過定點(Q點除外)，并求出該定點的坐標．
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中，F1、F2分別為其左右焦點，點P在雙曲線上運動，求△PF1F2的重心G的軌跡方程．