Question

【題目】已知函數（其中是自然對數的底數）

（1）若在R上單調遞增，求正數a的取值范圍；

（2）若f（x）在處導數相等，證明：；

（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據的單調性，構造新函數，并令，根據的單調性即可得證；

（3）將問題轉化為證明有唯一實數解，對求導，判斷其單調性，結合題目條件與不等式的放縮，即可得證．

；

令，則恒成立；

，；

的取值范圍是；

（2）證明：由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增；

；

令，；

則；

令，則；

；

；

（3）證明：，，要證明有唯一實數解；

當時，；

當時，；

即對于任意實數，一定有解；

；

當時，有兩個極值點；

函數在，，上單調遞增，在上單調遞減；

又；

只需，在時恒成立；

只需；

令，其中一個正解是；

，；

單調遞增，，（1）；

；

；

綜上得證．