Question

【題目】設定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一個解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），則實數a=

Answer 1

【答案】1
【解析】解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
則f（x）﹣log2x為定值，
設t=f（x）﹣log2x，則f（x）=t+log2x，
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）= ，
又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一個解，
所以x0是函數F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣ 的零點，
分析易得F（1）=﹣ ＜0，F（2）=1﹣ =1﹣ ＞0，
故函數F（x）的零點介于（1，2）之間，故a=1，
所以答案是：1
【考點精析】通過靈活運用基本求導法則，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導即可以解答此題．