Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC中點，以A為原點，建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量解答以下問題
（1）證明：直線BD⊥OC
（2）證明：直線MN∥平面OCD
（3）求異面直線AB與OC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：以A為原點，以AO，AB，AD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，A-xyz．
（1）要證明BD⊥OC，只要證明

BD

•

OC

=0即可；
（2）設平面OCD的法向量為

n

=(x，y，z)，可得

n • OC =x+y-2z=0 n • CD =-x=0

，求出法向量

n

，只要證明

n

•

MN

=0即可；
（3）利用cos＜

AB

，

OC

＞=

AB • OC

| AB | | OC |

即可得出．

解答：解：以A為原點，以AO，AB，AD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，A-xyz．
則B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N(1，

1

2

，0)．
（1）∵

BD

=(-1，1，0)，

OC

=(1，1，-2)，

BD

•

OC

=-1+1+0=0，
∴

BD

⊥

OC

，∴BD⊥OC；
（2）

CD

=(-1，0，0)，設平面OCD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • OC =x+y-2z=0 n • CD =-x=0

，
令y=2，則x=0，z=1，∴

n

=(0，2，1)，
又

MN

=(1，

1

2

，-1)，∴

n

•

MN

=2×

1

2

-1×1=0，
而MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD．
（3）

AB

=(1，0，0)，∴cos＜

AB

，

OC

＞=

AB • OC

| AB | | OC |

=

1

1× 1+1+(-2)2

=

6

6

，
∴異面直線AB與OC所成角的余弦值為

6

6

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系的方法求證垂直、線面平行及求出異面直線所成的角等是解題的關鍵．