Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點
（1）求三棱錐B-OCD的體積；
（2）求異面直線AB與MD所成角的大小；
注：若直線a⊥平面α，則直線a與平面α內的所有直線都垂直．

Answer 1

分析：（1）由題意判斷OA為三棱錐O-BCD的高，利用三棱錐的換底性，計算三棱錐O-BCD的體積；
（2）連接MC，可證∠CDM為異面直線AB與MD所成的角，在△CDM中，分別求出三邊長，利用余弦定理計算角的余弦值，進而求得角的大小．

解答：解：（1）∵OA⊥底面ABCD，∴OA為三棱錐O-BCD的高，OA=2，
在△BCD中，∠BCD=

3π

4

，
∴S_△BCD=

1

2

×1×1×

2

2

=

2

4

，
∴V_B-OCD=V_O-BCD=

1

3

×

2

4

×2=

2

6

；
（2）連接MC，
∵AB∥CD，∴∠CDM為異面直線AB與MD所成的角，
∵∠ABC=

π

4

，∴AC=

1+1-2×1×1× 2 2

2- 2

，
∴CM²=1+2-

2

=3-

2

；DM=

2

，CD=1，
∴cos∠CDM=

1+2-3+ 2

2×1× 2

=

1

2

，
∴∠CDM=

π

3

．
故異面直線AB與MD所成的角為

π

3

．

點評：本題考查了利用三棱錐的換底性求三棱錐的體積，考查了異面直線所成角的定義及求法，考查了學生的空間想象能力與運算能力，屬于中檔題．