Question

設(shè)圓C滿足：（1）截軸所得弦長(zhǎng)為2；（2）被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為5∶1．
在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線：3－4=0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

圓的方程為
（x－）²＋（y－）²＝4或（x＋）²＋（y＋²＝4

解：設(shè)所求圓的圓心為P（，），半徑為，則P到軸、軸的距離分別為||、||．
由題設(shè)圓P截x軸所得劣弧所對(duì)圓心角為60°……2分，圓P截軸所得弦長(zhǎng)為，故  3²＝4²，
又圓P截軸所得弦長(zhǎng)為2，所以有r²＝²＋1，…………5分
從而有4²－3²＝3
又點(diǎn)P（，）到直線3－4=0距離為＝，…………7分
所以25²＝|3－4|²
＝9²＋16²－24≥9²＋16²－12（²＋²）………10分
＝4b²－3²＝3
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)25²＝3，從而取得最小值，
由此有 ，解方程得或 ………12分
由于3²＝4²，知＝2，于是所求圓的方程為
（x－）²＋（y－）²＝4或（x＋）²＋（y＋²＝4………．13分