Question

已知{ a_n}是等差數列，{ b_n}是等比數列，S_n是{ a_n}的前n項和，a₁=b₁=1，S₂=．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中項，求a_n與b_n的通項公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*，{}是公比為9的等比數列，求證：++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出等差數列的公差及等比數列的公比，將已知條件用就不量表示，求出公差與公比，利用等差及等比數列的通項公式求出兩個數列的通項．
（II）將已知條件用公差與公比表示，解方程求出公差及公比，求出前n項和，利用放縮法證得不等式成立．
解答：解：設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}公比為q．
（Ⅰ）∵S₂=，∴a₁+a₁+d=，而a₁=b₁=1，則q（2+d）=12．①
又∵b₂是a₁，a₃的等差中項，
∴a₁+a₃=2b₂，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
聯立①，②，解得或（4分）
所以a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=3^n-1；
或a_n=1+（n-1）•（-5）=6-5n，b_n=（-4）^n-1．（6分）
（Ⅱ）證明：∵a_n∈N^*，=b₁=q^{1+（n-1）d-1}=q^（n-1）d，
∴==q^d=9，即q^d=3²．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=．②
∵a₁=1，a_n∈N^*，∴d為正整數，從而根據①②知q＞1且q也為正整數，
∴d可為1或2或4，但同時滿足①②兩個等式的只有d=2，q=3，
∴a_n=2n-1，S_n==n²．（10分）
∴=＜=（-）（n≥2）．
當n≥2時，+++＜1+（-）+（-）+（-）++（-
=1+[（-）+（-）+（-）+（-）]
=1+（1+--）
=--＜．
顯然，當n=1時，不等式成立．故n∈N^*，+++＜．（14分）
點評：證明一個數列的和滿足的不等式時，先考慮是否能求出和再證；若和不能求，一般用放縮法證明．