Question

如圖，雙曲線=1(b∈N^*)的兩個焦點為F₁、F₂，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差數列，求此雙曲線方程.

Answer 1

雙曲線方程為-y²=1.

∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差數列，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4c.
又|PF₁|-|PF₂|=2a=4,
∴|PF₁|=2c+2,|PF₂|=2c-2.
根據中線定理有|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),
∴(2c+2)²+(2c-2)²＜2(5²+c²).
∴8c²+8＜50+2c².∴c²＜7,
即4+b²＜7.∴b²＜3.
又b∈N^*,∴b=1.
∴所求雙曲線方程為-y²=1.