【題目】設(shè)函數(shù)
，
，數(shù)列
滿足條件:對于
，
，且
，并有關(guān)系式:
，又設(shè)數(shù)列
滿足
(
且
，).
（1）求證數(shù)列
為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）試問數(shù)列
是否為等差數(shù)列，如果是，請寫出公差，如果不是，說明理由；
（3）若
，記
，，設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，數(shù)列的前項和為
，若對任意的，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析，
；（2）證明見解析，公差為
；（3）
．
【解析】
（1）由已知得出數(shù)列的遞推式
，湊配后可得
是等差數(shù)列，從而可得通項公式；
（2）計算
后得常數(shù)，即證得等差數(shù)列；
（3）由錯位相減法求得
，再由等差數(shù)列前
項和公式求得
，代入不等式
，化簡后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．
（1）證明：∵
，
，
，
∴
，即，
，
又
，所以
，∴是等比數(shù)列．
，∴．
（2）證明：∵
，∴
，
∴
∴數(shù)列
是等差數(shù)列，公差為，首項為
．
（3）由
及（1）（2）得
，
，
，
，
∴
，
兩式相減得：
，
∴
，
∴不等式為：
，整理得
對
恒成立，
令
，
由
，因此
遞增，且大于0，
所以
遞增，當(dāng)
時，
，且
，故
，
所以
的范圍是．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義平面向量的一種運算：
（
是向量
和
的夾角），則下列命題：
①
；②
；③若
且
，則
；其中真命題的序號是___________________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從
，
，
等8人中選出5人排成一排.
（1）必須在內(nèi)，有多少種排法？
（2），，三人不全在內(nèi)，有多少種排法？
（3），，都在內(nèi)，且，必須相鄰，與，都不相鄰，都多少種排法？
（4）不允許站排頭和排尾，不允許站在中間（第三位），有多少種排法？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的首項為1.記
.
（1）若為常數(shù)列，求
的值：
（2）若為公比為2的等比數(shù)列，求
的解析式：
（3）是否存在等差數(shù)列，使得
對一切
都成立？若存在，求出數(shù)列的通項公式：若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系
中，已知曲線
的參數(shù)方程為
（
， 
為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，求曲線
上的點到直線
的距離的最大值；
（Ⅱ）若曲線
上的所有點都在直線
的下方，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是
.
（1）求白球的個數(shù)；
（2）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年籃球世界杯在中國舉行，中國男籃由于主場作戰(zhàn)而備受觀眾矚目.為了調(diào)查國人對中國男籃能否進入十六強持有的態(tài)度，調(diào)查人員隨機抽取了男性觀眾與女性觀眾各100名進行調(diào)查，所得情況如下表所示：
男性觀眾 | 女性觀眾 | |
認(rèn)為中國男籃能夠進入十六強 | 60 | |
認(rèn)為中國男籃不能進入十六強 |
若在被抽查的200名觀眾中隨機抽取1人，抽到認(rèn)為中國男籃不能進入十六強的女性觀眾的概率為
.
（1）完善上述表格；
（2）是否有99%的把握認(rèn)為性別與對中國男籃能否進入十六強持有的態(tài)度有關(guān)？
附：
，其中
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，用“五點法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)
在
上的圖象；
（2）若為奇函數(shù)，求
；
（3）在（2）的前提下，將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)
的圖象，求
在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某種特別物質(zhì)的溫度
（單位：攝氏度）隨時間
（時間：分鐘）的變化規(guī)律滿足關(guān)系式：
（
，
）.
（1）若
，求經(jīng)過多少分鐘，該物質(zhì)的溫度為5攝氏度；
（2）如果該物質(zhì)溫度總不低于2攝氏度，求
的取值范圍.
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