Question

已知F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，|

F1F2

|=2，離心率e=

1

2

，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l的傾斜角為

π

4

，求線段MN中點的坐標．

Answer 1

（1）∵2c=|

F1F2

|=2，∴c=1，
又由e=

c

a

=

1

2

，得a=2，∴b²=2²-1²=3，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵F₂（1，0），k_l=tan

π

4

=1．
∴直線l：y=x-1，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
線段MN的中點為G（x₀，y₀）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x1+x2=

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=

4

7

，y0=x0-1=-

3

7

，
故線段MN的中點為(

4

7

，-

3

7

)．