Question

【題目】已知函數 ．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數；
（2）若f（x）在 上的值域是 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證明：設x2＞x1＞0，則x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

∵ = ，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的

（2）證明：∵f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的，

∴f（x）在 上單調遞增，

∴ ，

∴

【解析】（1）利用函數單調性的定義，設x2＞x1＞0，再將f（x1）﹣f（x2）作差后化積，證明即可；（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的，從而在[ ，2]上單調遞增，由f（2）=2可求得a的值．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．