Question

【題目】三棱錐P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC= AB=2 ，O為AC中點．

（1）求證：PO⊥平面ABC；
（2）求異面直線AB與PC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中點O，

連接OP，OB，易得：OP⊥AC；

∵ ，

，

∴AC2=AB2+BC2，

故得△ABC為Rt△，

∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，

∴OP⊥OB．

又∵AC∩BO=O且AC、OB面ABC，

∴OP⊥平面ABC

（2）解：分別取PB，BC中點EF，連接OE，OF，EF，

則AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO為異面直線AB與PC所成角（或補角）

由（Ⅰ）知在直角三角形POB中， ，

又 ， ；

在等腰三角形EOF中， ．

所以，異面直線AB與PC所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）直線垂直平面，只需要證明直線垂直平面內的兩條相交直線即可．由題意，因為PA=PB=PC=AC=4，AC的中點O，連接OP，OB，易得：OP⊥AC，同理可證△ABC為Rt△，OP⊥OB，AC∩BO=O且AC、OB面ABC可得OP⊥平面ABC．（2）利用O為AC中點，分別取PB，BC中點EF，連接OE，OF，EF，則AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO為異面直線AB與PC所成角．放在等腰三角形EOF即可求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．