Question

已知a，b為正實數．
(1)求證：≥a＋b；
(2)利用(1)的結論求函數y＝ (0<x<1)的最小值．

Answer 1

（1）見解析（2）1

(1)證明：方法一：∵a>0，b>0，
∴(a＋b) ＝a²＋b²＋≥a²＋b²＋2ab＝(a＋b)².
∴≥a＋b，當且僅當a＝b時等號成立．
方法二：－(a＋b)
＝，
又∵a>0，b>0，∴≥0，
當且僅當a＝b時等號成立．∴≥a＋b.
方法三：∵a>0，b>0，∴a²＋b²≥2ab.
∴a＋≥2b，b＋≥2a，∴(a＋b)＋≥2a＋2b.
∴≥a＋b.(當且僅當a＝b時取等號)．
(2)∵0<x<1，∴1－x>0，
由(1)的結論，函數y＝≥(1－x)＋x＝1.
當且僅當1－x＝x，即x＝時等號成立．
∴函數y＝ (0<x<1)的最小值為1.