Question

【題目】已知函數f（x）=k﹣ （其中k為常數）；
（1）求：函數的定義域；
（2）證明：函數在區間（0，+∞）上為增函數；
（3）若函數為奇函數，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函數f（x）=k﹣ 有意義，顯然，只需x≠0

∴該函數的定義域是{x∈R|x≠0}

（2）證明：證法一：在區間（0，+∞）上任取x1，x2且令0＜x1＜x2，

則：f（x1）﹣f（x2）=（ ）（ ）=

∵0＜x1＜x2，

∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

則函數f（x）在這個區間（0，+∞）上是增函數

證法二：∵f（x）=k﹣ ，

∴f′（x）= ，

當x∈（0，+∞）時，

f′（x）＞0恒成立，

所以函數f（x）在這個區間（0，+∞）上是增函數

（3）解：由（1）知，函數的定義域關于原點對稱．

要使函數是奇函數，需要使f（﹣x）+f（x）=0

則，得：2k=0，即k=0

∴當k=0時，函數是奇函數

【解析】（1）根據使函數解析式有意義的原則，可得函數的定義域；（2）證法一：任取x1 ， x2∈R，且0＜x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）﹣f（x2）＜0，結合單調性的定義，可得：函數f（x）在R是增函數；
證法二：求導，根據當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數f（x）在R是增函數．（3）要使函數是奇函數，需要使f（﹣x）+f（x）=0，解得k值．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．