Question

【題目】不等式ex≥kx對任意實數x恒成立，則實數k的最大值為_______

Answer 1

【答案】e

【解析】不等式ex≥kx對任意實數x恒成立，即為

f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的導數為f′（x）=ex﹣k，

當k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）遞增，無最大值；

當k＞0時，x＞lnk時f′（x）＞0，f（x）遞增；x＜lnk時f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有x=lnk處取得最小值，且為k﹣klnk，

由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值為e，故答案為：e．