Question

設f(x)=

1

3

x3-ax2+(a-1)x．
（1）若f（x）在x=1處 切線的斜率恰好為1，求a的值；
（2）若f（x）在（0，1）內遞減，求a的取值范圍；又若此時f（x）在x₁處取極小值，在x₂處取極大值，判斷x₁、x₂與0和1的大小關系．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導函數，然后求出在x=1處的導數，從而建立方程，解之即可求出a的值；
（2）根據f（x）在（0，1）內遞減則在（0，1）內有f'（x）≤0恒成立，建立不等關系可求出a的取值范圍，由f'（x）的圖象知x₁、x₂與0和1的大小關系．

解答：解：（1）f'（x）=x²-2ax+（a-1）…（3分）
∵f'（1）=1⇒a=-1…（6分）
（2）依題意，在（0，1）內有f'（x）≤0恒成立⇒

f′(0)≤0 f′(1)≤0

⇒0≤a≤1…（9分）
又由f'（x）的圖象知，f'（x）與x軸的交點應該在（0，1）的兩側，

且在左側的為f（x）的極大值，右側的為極小值，故x₂≤0＜1≤x₁…（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．