Question

（本題滿分16分）
已知函數.
（1）求函數在點處的切線方程；
（2）若在區間上恒成立，求的取值范圍；
（3）當時，求證：在區間上，滿足恒成立的函數有無窮多個.

Answer 1

(1)因為  ，
所以在點處的切線的斜率為，……2分
所以在點處的切線方程為， 4分
(2) 令<0，對恒成立，
因為 （*）
………………………………………………………………6分
①當時，有，即時，在（，+∞）上有，
此時在區間（，+∞）上是增函數，
并且在該區間上有∈，不合題意；
②當時，有，同理可知，在區間上，有∈，
也不合題意；                  …………………………………………… 8分                              
③當時，有，此時在區間上恒有，
從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足，
所以．                   ………………………………………11分
綜上可知的范圍是．         ………………………………………12分
(3)當時，
記．
因為，所以在上為增函數，
所以，             ………………………………14分
設, 則,所以在區間上，
滿足恒成立的函數有無窮多個．     …………………16分

略