Question

設函數.
(I )討論f(x)的單調性；
(II) ( i)若證明：當x>6時，
(ii)若方程f(x)=a有3個不同的實數解，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f¢(x)＝－e^－x[x²－(a＋2)x＋2a]＝－e^－x(x－2)(x－a)．      …1分
（1）若a＝2，則f¢(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減．          …2分
（2）若0≤a＜2，當x變化時，f¢(x)、f(x)的變化如下表：

x	(－∞，a)	a	(a，2)	2	(2，＋∞)
f¢(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	極小值ae－a	↗	極大值(4－a)e－2	↘

此時f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)單調遞減，在(a，2)單調遞增．     …3分
（3）若a＞2，當x變化時，f¢(x)、f(x)的變化如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，a)	a	(a，＋∞)
f¢(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	極小值(4－a)e－2	↗	極大值ae－a	↘

此時f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)單調遞減，在(2，a)單調遞增．     …4分
（Ⅱ）（ⅰ）若a＝0，則f(x)＝x²e^－x，f(x)＜即x³＜e^x．
當x＞6時，所證不等式等價于x＞3lnx，
設g(x)＝x－3lnx，當x＞6時，g¢(x)＝1－＞0，g(x)單調遞增，
有g(x)＞g(6)＝3(2－ln6)＞0，即x＞3lnx．
故當x＞6時，f(x)＜．                                        …6分
（ⅱ）根據（Ⅰ），
（1）若a＝2，方程f(x)＝a不可能有3個不同的實數解．            …7分

略