Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，為橢圓上位于第一象限上的點，為橢圓的上頂點，直線與軸相交于點，，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于、兩點（、在直線的同側），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）x﹣y﹣20．

【解析】

（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和、、的關系，結合三角形的面積公式和線段的中點坐標公式，解方程可得、，進而得到所求橢圓方程；

（Ⅱ）求得的坐標和右焦點坐標，運用等腰三角形的性質，可得線、的斜率互為相反數，設直線，聯立橢圓方程，運用韋達定理，求得，同理可得，再由直線的斜率公式，化簡整理，即可得到，進而得到所求直線方程．

（Ⅰ）橢圓的離心率為，

即，可得，，

由，可得為的中點，

所以，即，

所以，即，，，

所以橢圓的方程為1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，右焦點為，

因為，所以，所以，

又，直線、的斜率互為相反數，

設直線，聯立橢圓方程，

消去，可得，

設、，則，所以，

將換為，同理可得，，，

，

所以直線的方程為，即．