Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.

（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ

（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

首先根據題意以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz；（Ⅰ）根據坐標系，求出的坐標，由向量積的運算易得；進而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（Ⅱ）依題意結合坐標系，可得B、的坐標，進而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進而求出cos＜，＞，根據二面角與其法向量夾角的關系，可得答案.

如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

（Ⅰ）依題意有，，，

則，，，所以，，

即⊥，⊥.且,

故⊥平面.

又平面，所以平面⊥平面.

（II）依題意有，=，=.

設是平面的法向量，則即

因此可取

設是平面的法向量，則

可取所以,

且由圖形可知二面角為鈍角

故二面角的余弦值為