Question

若函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011126555303.png" style="vertical-align:middle;" />，且滿足為 奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的有        
（1）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
（2）的周期為 
（3）  
（4）在上只有一個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

試題分析：因?yàn)椋�函�?shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011126555303.png" style="vertical-align:middle;" />，且滿足為 奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以f(－x+1)=－f(x+1) .......(1)；f(x－1）=f(－x－1）.......(2)。
由(1) 得f(x+1)=－f(－x+1) ，故；
由(2) 得f(x－1）=f(－x－1），故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；（1）正確。由此可知，函數(shù)在要嗎沒(méi)零點(diǎn)，要嗎不只一個(gè)零點(diǎn)；（4）不正確。
由①令－x+1=t得：f(t)=－f(2－t)…………③；②令－x－1=t得：f(t)= f(－2－t)………④；
由③、④得f(2－t)=－ f(－2－t）由此令－2－t=m得f(4+m) =－f(m)，
所以，f(8+m) =－f(m+4)= f(m)，函數(shù)f(x)的周期為8，（2）不正確。
所以，（3）正確。
綜上知，答案為（1）（3）
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題比較典型，綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性，有一定難度，需要靈活運(yùn)用“代換的方法”，尋求所需條件、結(jié)論。