Question

【題目】已知是方程 的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；

（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性；

（3）設(shè)，試證明：對(duì)于，若，則.

（參考公式： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

Answer 1

【答案】(1) 的最小值為， 的最大值為；

(2)單調(diào)遞增函數(shù)；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；

（2）當(dāng)時(shí)，求得的值，求得，可判定當(dāng)時(shí)， ，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由（2）知，得，化簡(jiǎn)，進(jìn)而可得，應(yīng)用參考公式，即可得出證明.

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)，方程的兩實(shí)根為

，

當(dāng)時(shí)， ， 在為單調(diào)遞增函數(shù)，

的最小值為， 的最大值為；

（2）

由題知： 時(shí)，所以，

在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）由（2）知，

又由題得： ，

∴

所以

由于等號(hào)不能同時(shí)成立，故得證.