Question

【題目】已知函數．

（1）證明：函數在上單調遞增；

（2）若，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題解析：（1）求導 ，判斷其符號，可知函數在上單調遞增；

（2）由（1）得在上單調遞增，又，所以，分類討論

（ⅰ）當時，成立．

（ⅱ）當時，

構造函數，利用導數討論其單調性，可知時，．（*）

由（*）式可得，

令，求導

由（*）式可得 ，

令 ，得在上單調遞增，研究函數的性質可知

存在 使得，即時，，

即時，，單調遞減，又，所以，

即時，，與矛盾．

綜上，滿足條件的的取值范圍是．

試題解析：

（1），

因為，所以，于是

（等號當且僅當時成立）．

故函數在上單調遞增．

（2）由（Ⅰ）得在上單調遞增，又，所以，

（ⅰ）當時，成立．

（ⅱ）當時，

令，則，

當時，，單調遞減，又，所以，

故時，．（*）

由（*）式可得，

令，則

由（*）式可得，

令，得在上單調遞增，

又，，所以存在 使得，即時，，

所以時，，單調遞減，又，所以，

即時，，與矛盾．

綜上，滿足條件的的取值范圍是．