Question

已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)?.
（1）求證：f(x)是周期函數；
（2）若f(x)為奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的個數.

Answer 1

（1）證明見解析（2）在［0，2 009］上共有502個x使f(x)="-"

（1）證明 ∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），                           2分
∴f（x）是以4為周期的周期函數，                           4分
（2）解 當0≤x≤1時，f(x)=x,
設-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.
∵f(x)是奇函數，∴f（-x）=-f（x）,
∴-f（x）=-x，即f(x)=x.                                  7分
故f(x)= x(-1≤x≤1)                                           8分
又設1＜x＜3,則-1＜x-2＜1,
∴f(x-2)= (x-2),                                          10分
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），
∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.                          11分
∴f（x）=                         12分
由f(x)="-" ,解得x=-1.
∵f（x）是以4為周期的周期函數.
∴f(x)="-" 的所有x="4n-1" (n∈Z).                               14分
令0≤4n-1≤2 009,則≤n≤,
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,
∴在［0，2 009］上共有502個x使f(x)="-" .                           16分