Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l過點(diǎn)A（2，0），傾斜角為

π

2

．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）若有一極坐標(biāo)系分別以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)和x軸非負(fù)半軸為原點(diǎn)和極軸，并且兩坐標(biāo)系的單位長度相等，在極坐標(biāo)系中有曲線C：ρ²cos2θ=1，求直線l截曲線C所得的弦BC的長度．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)（a，b）傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為

x=a+tcosθ y=b+tsinθ

（t為參數(shù)），依此即可得過點(diǎn)A（2，0），傾斜角為

π

2

的直線l的參數(shù)方程；
（2）先將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，方法1可利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求弦BC的長度，方法2可將直線的參數(shù)方程化為普通方程，與曲線C聯(lián)立求弦BC的長度

解答：解：（1）直線l的參數(shù)方程可以寫作

x=2+tcos π 2 y=tsin π 2

，即

x=2 y=t

（2）方法1：把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程，可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1
把

x=2 y=t

代入上式得2²-t²=1∴t1=

3

，t2=-

3

故|BC|=|t1-t2|=|

3

-(-

3

)|=2

3

方法2：把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程，可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1
依題意得直線l的直角坐標(biāo)方程為x=2
由

x=2 x2-y2=1

可求得兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為B(2，

3

)，C(2，-

3

)
故|BC|=2

3

點(diǎn)評：本題考察了直線的參數(shù)方程及其意義和運(yùn)用，曲線的極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化