Question

一條斜率為1的直線l與離心率為的雙曲線-=1(a＞0,b＞0)交于P、Q兩點,直線l與y軸交于R點,且·=-3, =3,求直線和雙曲線方程.

Answer 1

解：∵e=,∴b²=2a².

∴雙曲線方程可化為2x²-y²=2a².

    設直線方程為y=x+m,

    由得x²-2mx-m²-2a²=0,

∴Δ=4m²+4(m²+2a²)＞0.

∴直線一定與雙曲線相交.

    設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),則x₁+x₂=2m,x₁x₂=-m²-2a².

∵=3,x_R==0,

∴x₁=-3x₂.

∴x₂=-m,-3x₂²=-m²-2a².

    消去x₂,得m²=a².

·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)

=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3,

∴m=±1,a²=1,b²=2.

∴直線方程為y=x±1,雙曲線方程為x²-=1.